Geschichte und Varianten
Tim B. Herbstrith
28 April 2017
William Burnside stellt in seinem Artikel
On an unsettled question in the
theory of discontinuous groups
das Unbounded Burnside Problem auf.
Da er das Problem nicht lösen kann, fragt Burnside die „einfachere“ Frage
Ist jede endlich erzeugte Gruppe mit
endlichem Exponent endlich?
(Bounded Burnside Problem)
Das Restricted Burnside Problem wird formuliert:
Gibt es bis auf Isomorphie nur endlich
viele endliche Gruppen, die von
\(n\) Elementen mit Ordnung \(m\)
erzeugt werden?
Evgeny Golod and Igor Shafarevich konstruieren ein Gegenbeispiel für das Unbounded Burnside Problem.
Pyotr Novikov und Sergei Adian beweisen die Existenz von unendlichen, endlich erzeugten Gruppen mit Exponent \(n\) für alle ungeraden \(n\geq 4381\) (Novikov-Adian-Theorem).
Sergei Adian verallgemeinert die Aussage für ungerade Exponenten größer 664.
Rostislav Grigorchuk konstruiert mit der 1. Grigorchuk-Gruppe ein zweites Gegenbeispiel für das Unbounded Burnside Problem.
Alexander Yu. Olśhanskiĭ veröffentlicht einen auf geometrischen Argumenten basierenden Beweis des Novikov-Adian-Theorem für ungerade Exponenten größer \(10^{10}\).
Sergei Vasilievich Ivanov widerlegt das Bounded Burnside Problem für alle geraden Exponenten \(n\geq 2^{48}\), die durch \(2^9\) teilbar sind.
Efim Zelmanov beantwortet das Restricted Burnside Problem positiv und erhält für seine Arbeit die Fields-Medaille.
I. G. Lysënok gibt Gegenbeispiele des Bounded Burnside Problem für alle Exponenten \(n\geq 8000\) an.